瘋録

一部の小学校では
掛け算の文章問題において
立てた式を答えるときに
「1つ分」×「いくつ」の順に書くよう
指導されるようです。

考えてみると、計算結果が仮分数になったら
必ず帯分数に直せというルールがありました。
今は仮分数でも良いとしている小学校もあるようですが
解答の際に体裁を整えるというルールなら
多少は理解できないでもありません。

「2匹のタコの足は何本?」という問題で
式の欄に「2×8」と書くと
2本足のタコが8匹いることになり
×とされるのですが
私が疑問なのはこの順にする根拠です。

掛け順に従って書いてきた人に訊いてみますと
・国内すべての教科書にこの順で書かれている。
・「○○が△△個」という日本語が普通だから。
等のようですが、どうも説得力に欠ける気がします。  

例えば「3羽のウサギがいる。
耳は合わせて何本あるか?」という問題で
「式」の欄に「3×2」と書くと不正解となり、
「2×3」のみが正解になるケースがあるそうです。
おそらくこの授業をされている先生は×にすることでしょう
(2年生で九九を一通り習っていますので
交換法則2×3=3×2は履修済みです)。

掛け算を初めて扱う際に
「1つ分」×「いくつ」の順に書くよう
国内すべての教科書に書かれているのが
その根拠のようです。

先の例では
「耳を3本もつウサギが2羽いる」ことになり
問題の意味を理解できておらず
不正解扱いとするようです。

一般社会において例えばレシートなど
「いくつ」×「1つ分」で書くことも多いので
この採点基準に違和感を抱く人も少なくないでしょう。

子どもがいつも以上に悪い点数を取ってきたのに驚き
いざ実際にテストを見てみると、
掛け順が正しくないために減点されていて
初めて親御さんが気付くケースがあるようです。  

40年ほどの歴史を持つ問題になっているようですが
深刻化しているケースがあるらしく
塾講師の私としても他人事ではないので
まとめていきたいと思います。

疑問点が沢山あるため、
本日分は目次のみ掲載します。
1.掛け順教育とは
2.掛け順の根拠
3.交換法則との関係
4.教科書と指導書
5.私が塾の授業中に感じること
今後追記・修正していくこともありえます。  

中秋の名月の頃に書いたことに、
ちょっと確信を得られなかったことがあったので
求めてみることにしました。

それは、新月から満月までの時間が
朔望月29.53日の半分より
どれだけ短くなったり長くなったりするのかです。
朔望月については以前のブログをご覧ください。

朔望月について考えるのは大変なので
今回は月が半周するのにかかる時間が
公転周期の半分に対してどれだけ
短くなったり長くなったりするのかを求めて
代用することにします。
(ここでの半周とは「一周の半分」という意味ではなく
「公転の中心となる星から見て正反対の位置に
来る」という意味であるとします)

先日の時計の例えで言うならば
時計の長針と短針が重なってから反対向きに
なるまでの時間を計算するのは大変なので
単純に時計の長針が半周する時間を求める
だけに留めるということです。

ここで、楕円について少し触れておきます。
楕円は「2点F₁,F₂からの距離の和が等しい点の集合」ですが
この2点F₁,F₂を「焦点」と呼び
公転の中心となる星は焦点のどちらか一方になります。
楕円には長軸ABと短軸CDがあり、
長軸の長さの半分を「長径」とか「平均半径」と呼びます。
楕円の中心から焦点までの距離の平均半径に対する割合、
つまり、OF₁÷OAを「離心率」と呼び、eで表します。
半周するのにかかる時間が最も短くなるのは
ケプラーの第2法則(面積速度一定の法則)から
月が点Eから点Gに移動する時間
つまり、上図1の色付きの部分であると言えます。
この面積が楕円の全面積に対して
どれだけの割合かを調べれば良いわけです。

細かな導出は省略しますが、
図2のように円を使って計算するとやりやすいです。
図2の色付きの部分と半円の面積の差を
近似すると2e/πとなります。

月の場合e=0.055となりますから
公転周期T=27.3日を用いると
月が地球の周りを半周するのにかかる日数の最小値は
公転周期の半分より約1日ほど短いことがわかります。

以上により、先日ブログに書いた内容は
ほぼ正しそうだと言えそうです。